Ich kenne die Rednesart zwar nicht, würde aber vermuten dass es sich entweder aufs trinken bezieht, oder darauf, sic selbst zu befriedigen.
Ich schließe zweiteres mal aus, da ich nicht denke, dass das gemeint ist.
"Sich einen zwitschern" würde ich mal sagen kommt davon, dass man einfach am liebsten Bier draußen in der Natur trinkt, im Biergarten zum Beispiel, wo frische Luft ist und die Vögel eben zwitschern. Das genießt man halt. Und mittlerweile hat sichs halt eingebürgert zu sagen, man zwitschert sich einen.